Kurt Gödels teorem går ut på att det inom varje logiskt-matematiskt system (som åtminstone innehåller heltalen) finns satser (påståenden) som är sanna, men som inte kan bevisas vara sanna (eller falska), inte inom just detta system. Dessutom visade Gödel att man inte inom systemet kan bevisa att systemet är motsägelsefritt, dvs att det inte innehåller logiska motsägelser, ”felaktigheter”.
Man skulle för all del kunna bygga ut sitt axiomatiska system på ett lämpligt sätt (med t ex fler axiom). Då kan det gå utmärkt att bevisa de sanna satserna, de som förut inte gick att bevisa. Fast då har man ju skaffat sig ett nytt logiskt-matematiskt system – och då finns här (i det nya systemet) enligt Gödel återigen vissa satser som inte kan bevisas vara sanna, trots att de är sanna. Och visst kan man återigen bygga ut systemet för att bevisa dessa satser också, men då … osv. Så hur man än vänder på det, tycks matematiken och logiken inte vara fullständig: alla sanningar går inte att bevisa. Och det finns inga garantier mot motsägelser.
Gödels ursprungliga bevis är rätt långrandigt och använder sig bl a av ett slags numrerings-teknik för att numrera alla påståenden och axiom i systemet och sen utföra vissa listiga operationer med numren – härav kravet att systemet måste åtminstone innehålla heltalen.
Fast man kan få en idé om den centrala tanken i Gödels resonemang med hjälp av följande tankeexperiment:
1. Vi tänker oss en perfekt dator som tillsammans med ett inbyggt program alltid besvarar alla frågor korrekt. Vi kan kalla datorn plus programmet för DATOR.
(Vår tänkta uppfinning DATOR fungerar här som en analogi till ett axiomatiskt logiskt system – datorns processor och program utför allt som det axiomatiska systemets regler och axiom föreskriver.)
2. Vi gör nu följande påstående: ”DATOR kommer aldrig att säga att detta påstående är sant”. Påståendet kan vi kalla för P.
3. Nu frågar vi DATOR om P är sann eller inte.
4. Om DATOR skulle säga att P är sann, då skulle det innebära att påståendet ”DATOR kommer aldrig att säga att detta påstående är sant” är falskt. Och därmed vore P i själva verket falskt.
5. Alltså, om DATOR skulle svara att P är sann, då är P i själva verket falskt och DATOR skulle i så fall avge ett felaktigt svar. Men DATOR är ju programmerad att bara ge korrekta svar. Så den kommer följaktligen aldrig att säga att P är sann, trots att vi själva vet att P är sann.
6. Vi vet nu alltså med säkerhet att P är sann. Men DATOR kan aldrig säga att P är sann, eller hur? Alltså är DATOR inte kapabel att att tala om sanningshalten i alla sanna påståenden som man kan ställa till den – DATOR är ”ofullständig”.
Tankeexperimentets slutsats:
Tankeexperimentets DATOR var ju vår analogi till alla axiomatiska logisk-matematiska system. Dessa system bör därmed också vara ofullständiga, dvs innehålla sanna satser som inte kan bevisas inom systemet, precis så som Gödel hävdar.
Det här kan kanske också ses som ett listigt sätt att använda sig av den gamla lögnar-paradoxen: Är påståendet ”jag ljuger alltid” sant eller falskt? I stället för att ge sig in på själva påståendet (som ju hamnar i en ond cirkel), intresserar Gödel sig snarare för vad man kan säga om den som uttalar påståendet (eller snarare för vad man inte kan säga om denne).
— — —
Det intressanta med Gödels teorem är förstås de filosofiska konsekvenserna: innebär teoremet att det är omöjligt att komma fram till den fullständiga sanningen? Och vad beror det i så fall på? Det finns ännu inga entydiga svar – filosoferna debatterar fortfarande.
Hur man än ser det, ligger svaret knappast i de konstigheter som uppträder i tolkningen av våra iakttagelser av den fysiska verkligheten, typ skenbara inkonsekvenser mellan Einsteins fysik och kvantmekaniken. Verkligheten är ju ett ofullständigt utforskat fält, så det är knappast förvånande att allt än så länge inte tycks ”stämma”. Här handlar det inte om att matematiken skulle bedra oss, utan snarare om att våra instrument (och vi själva?) är otillräckliga.
